定点数

定点数：小数点的位置固定——常规计数

浮点数：小数点的位置不固定—科学计数法

无符号数

整个机器字长的全部二进制位均为数值位，没有符号位，相当于数的绝对值

n位无符号数的表示范围：0~2ⁿ-1
通常只讨论无符号整数
通常表示指针、地址

有符号数

可以用原码、补码、反码三种方式来表示定点整数和顶点小数。还可用移码表示定点整数。

定点整数数的小数点约定在数的最右边
将最高位理解为负权重(-2ⁿ)，其余位为正权重(+2^n-i)

原码

一般用于表示浮点数的尾数 x

反码

正数的反码=原码
若符号位为0，则反码与原码相同
若符号位为1，则数值位全部取反

注意：反码只是原码转为补码的中间状态

补码

正数的补码=原码

负数的补码 = 反码末位+1（要考虑进位）

将负数补码转回原码的方法一样:尾数取反，末位+1(注意进位)
由 _补快速求[-x]_补的方法：符号位、数值位全部取反，末位+1

移码

在补码的基础上将符号位取反(移码只能用于表示整数)

特殊值表示

有符号数-1：位全1，可以辅助快速运算补码的十进制表示

无符号数最大值：位全1

数位扩展

对于无符号数与有符号正数：高位全部添0

对于有符号负数：高位全部添1

加减运算

加法正常运算
减法则将减数转换为补码与被减数相加即可完成减法运算，所以在ALU中只设计加法器节省硬件成本

注意：执行加法操作时，符号位一起参与运算

移位运算

算数移位

移位：通过改变各个数码位和小数点的相对位置，从而改变各数码位的位权。可用移位运算实现乘法、除法

原码

符号位保持不变，仅对数值位进行移位。

右移：高位补0，低位舍弃，若舍弃的位=0，则相当于/2；若舍弃的位不等于0，则会丢失精度
左移：低位补0，高位舍弃，若舍弃的位=0，则相当于x2；若舍弃的位不等于0，则会出现严重误差

反码

正数反码的移位运算与原码相同，负数反码的规则如下

右移：高位补1，低位舍弃
左移：低位补1，高位舍弃

补码

正数补码的移位运算与原码相同

负数补码的移位运算：

右移(同反码)：高位补1，低位舍弃
左移(同原码)：低位补0，高位舍弃

逻辑移位

可以看作是对无符号数的“算数移位”

右移：高位补0，低位舍弃
左移：低位补0，高位舍弃

循环移位

对于循环右移则同理

加减运算

一般采用补码的加减运算

正数+整数才可能发生上溢–正+正=负
负数+负数才可能发生下溢—负+负=正

溢出判断：

方法一：设A的符号为A_s,B的符号为B_s,运算结果的符号为S_s,则溢出逻辑表达式为：$$V=A_sB_s\overline S_s+\overline A_s\overline B_sS_s$$

若V=0，表示无溢出；
若V=1，表示有溢出

方法二：采用一位符号位，根据数据位进位情况判断溢出符号位的进位C_s，最高数值位的进位C_s

	符号位进位C_s	最高数值位进位C_s
上溢	0	1
下溢	1	0

即：C_s与C_s不同时有溢出

对C_s与C_s进行异或运算，设V为两者异或结果

若V=0，表示无溢出
若V=1，表示有溢出

方法三：双符号位法，正数符号位为00，负数符号位为11

加法运算后，双符号位=01则发生上溢；若双符号位=10则发生下溢，若两个符号位相同则未发生溢出。

乘法运算

原码乘法运算

判断—-加法—-右移

符号单独处理：符号位=$X_s\oplus Y_s$
数值位取绝对值进行乘法运算

实现：

判断乘数最低位是否为1，是则与乘积(初值为0)累加，否则不累加
进位位，乘积位ACC，乘数MQ同时右移
重复上述步骤

在逻辑右移的时候，ACC中的最低位会移到MQ中的最高位，在ACC中补0，MQ的最低位直接丢弃。
乘积高位：由ACC中不断的累加进位形成
乘积低位：由运算过程中不断地右移部分积到MQ中形成

补码乘法运算

符号位参与运算
补码一位乘法必须采用双符号位补码表示法
移位采用的是算术右移(符号位是啥就补啥)

除法运算

原码除法

计算机默认上商1，如果不应该商1则改为商0，并“恢复余数”
ACC与MQ移位采用逻辑左移
求余数:(ACC)-(除数)->ACC，即(ACC)+[-|y|]_补->ACC
符号位单独通过两个符号位异或进行判断

不恢复余数的方法

将负余数记为a，将a加上除数b得结果a+b，将a+b逻辑左移并减去b

上述语句可表达为(a+b)*2-b= 2 *a+b

基于上述优化方法进行的原码除法又称加减交替法
恢复余数法：当余数为负时商0，并+|除数|，再左移，再-除数
加减交替法：当余数为负时商0，并左移，再加|除数|

补码除法

符号位参与运算
被除数/余数、除数均采用双符号位

余数和除数同号，商1，余数左移一位减去除数；

余数和除数异号，商0，余数左移一位加上除数；

注意：末位商恒置为1，精度误差不超过2^-n^，好处是省事，硬件电路设计更精简。