浮点数

定点数的局限性：定点数可表示的数字范围有限，又不能无限制地增加数据的长度。

浮点数的表示

​ 一个浮点数由阶码与尾数组成，阶码反映了数值大小，尾数反映了精度。

• 阶码：常用补码或移码表示的定点整数，最多不超过两位数(99)

• 尾数：常用原码或补码表示的定点小数

• 浮点数的真值： $r^E*M$，r就是阶码的底，通常为2

• 尾数的最高位是无效值(0)会丧失精度

浮点数尾数的规格化

规格化浮点数：规定尾数的最高数值位必须是一个有效值，且阶码字段十进制值介于[1，254]

左归：尾数算数左移1位，阶码-1

右归：尾数出现溢出(双符号位为01或10)时，尾数算数右移1位，阶码+1

采用双符号位，当溢出发生时，可以挽救。更高的符号位是正确的符号位。

补码的算术左移，低位补0;补码算数右移，高位补1

规格化浮点数的特点

1. 规格化的原码尾数，最高数值位一定是1
2. 规格化的补码尾数，符号位与最高数值位一定相反。

浮点数标准IEEE 754

移码：补码的基础上将符号位取反。只能用于表示整数

移码=真值+偏置值(8位移码的偏置值=128D=10000000B)，即2^n-1^

但偏置值可以取其他值，在IEEE 754标准中，阶码由移码表示，其偏置值取了2^n-1^-1

最小绝对值：尾数全0，阶码真值最小-126，对应移码机器数0000 0001，此时整体的真值为1.0x2^-126

最大绝对值：尾数全1，阶码真值最大值为127，对应移码机器数1111 1110 此时整体的真值为(1.1111…11)₂x2¹²⁷

以上皆基于单精度浮点数进行讨论，双精度浮点数同理

阶码全1全0用作特殊用途

• 当阶码全为0，尾数M不全为0时，表示非规格化小数
• 当阶码全为1，尾数M不全为0时，表示非数值NaN（0/0，无穷/无穷，等）
• 当阶码全为0，尾数M全为0，数符为1表示-0，数符为0表示+0
• 当阶码全为1，尾数M全为0时，数符为1表示负无穷，数符为0表示正无穷

类型转换精度丢失问题

例如int与float类型转换，由于int类型4字节32位表示，float类型尾数部分只有23位表示，

故当int类型的数据无法用23位表示完全时会导致精度丢失

但double类型尾数部分有52位，所以int转换为double就可以精确表示

浮点数运算

加减运算的步骤：

1. 对阶：小阶码向大阶码对齐
2. 尾数加减
3. 规格化：若运算结果出现非规格化则进行左归或右归
4. 舍入：若只能保留6位有效尾数，若舍弃部分非0，则入1

​ 或者四舍五入

​ 或者直接舍弃

5. 判溢出： 若规定的阶码不超过两位，则运算后阶码超出范围，则溢出(尾数溢出未必导致整体溢出，也许可以通过3，4来救)